Soal dan penyelesaian barisan dan deret

LATIHAN ULANGAN BARISAN DAN DERET

1.       Selisih dua bilangan asli adalah 36 dan bilangan kedua adalah lima kali bilangan pertama. Jika kedua bilangan itu berturut – turut membentuk  suku kelima dan suku kedua suatu barisan aritmetika maka tentukan suku ke sepuluh!

                Penyelesaian :

                *) y – x = 36 → y = 36 + x      →             5x = 36 + x

                *) y= 5x                                                     4x = 36→ x = 9 → y = 45

                U₅ = 9 → a + 4b = 9                                         

                U₂ = 45 → a + b = 45   -                                         

                                        3b = -36

                                        b = – 12                     U₁₀ = a + 9b

                                        a = 57                                = 57 – 108 = – 51

2.       Misalkan a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ adalah suatu deret aritmetika yang berjumlah 75. Jika a₂ = 8 maka tentukan a₆ !

        a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ = 75                                                        a₂ = 8

        a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b) = 75        a + b = 8

        6a + 15b = 75                                                                                   a = 8 – b

        2a + 5b = 25

        2(8 – b) + 5b = 25

        16 + 3b = 25 → b = 3 → a = 5 → a₆ = a + 5b = 5 + 15 = 20 

3.       1 – 3 + 5 + 7 – 9 + 11 + 13 – 15 + 17 + 19 – 21 + ….. + 193 – 195 + 197 = ?

  = 1–3+(5+7)–9+(11+13)–15+(17+19)–21+ …..–189+(191+ 193)–195+197

  = 1–3+  12   –9+   24    – 15+    36    – 21+….. – 189 +      384   – 195 + 197

  = 1 + 197 + (12 + 24 + 36 + … + 384) – 3 – 9 – 15 – ……. – 195

  = 198 + 16(12 + 384) – 33/2(3 + 195)

  = 198 + 6336 – 3267 = 3267           

4.       Jika bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut :

        kelompok 1        : {1},

        kelompok 2        : {3,5},

        kelompok 3        : {7,9,11},

        kelompok 4        : {13,15,17,19}, …

        dst

        maka berapakah bilangan pertama dari kelompok ke-100 ?

        kelompok 1        : {1}                        = 1² – 0

        kelompok 2        : {3,5}                    = 2² – 1

        kelompok 3        : {7,9,11}              = 3² – 2  

        kelompok 4        : {13,15,17,19}    = 4² – 3

        .

        .              

        Kelompok 100   :                               = 100² – 99 = 10.000 – 99 = 9.901   

       

5.   Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda 16. Jika bilangan terkecil ditambah 10 dan bilangan terbesar dikurangi 7, maka diperoleh barisan geometri. Tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut !

                Misalkan bilangan itu : a – 16, a , a + 16

                (a + 16 – 7 ) : a = a : (a – 16 + 10)

                a² = (a + 9)(a – 6)

                a² = a² + 3a – 54

                3a = 54 → a = 18

                Sehingga jumlah 3 bilangan itu = 2 + 18 + 34 = 54 

6.  Jika jumlah sepuluh suku pertama suatu deret aritmetika adalah – 110 dan jumlah dua suku berturut-turut berikutnya adalah 2 maka tentukan jumlah 2 suku pertama !

                S₁₀ = 5(2a + 9b)                         U₁₁ + U₁₂ = 2                    2a + 9b = – 22

                 – 110 = 5(2a + 9b)          a + 10b + a+ 11b =2                      2a + 21b =    2 -

– 22 = 2a + 9b         2a + 21b = 2                   12b = 24                                                                                                                       b =2 → a = – 20

                                     sehingga a + a + b = – 40  + 2 = – 38                         

7.       Jika a, b, c, d dan e membentuk barisan geometri dan a.b.c.d.e = 1.024 maka berapakah nilai c ?

                a.b.c.d.e = 1.024                                              

                a.ar.ar².ar³.ar⁴ = 4⁵                                           karena c merupakan suku ke-3 maka

                a⁵.r¹⁰ = 4⁵                                                             c = ar² = 4

                (ar²)⁵ = 4⁵

                ar² = 4

8.  Diketahui barisan bilangan bulat 3, x, y dan 18. Jika tiga bilangan pertama membentuk barisan geometri dan tiga bilangan terakhir membentuk barisan aritmetika. Maka tentukan x + y !

                y : x = x : 3                                                           18 – y = y – x

                x² = 3y                                                                  2y = 18 + x → y = (18 + x)/2

                x² = 3(18 + x)/2

                2x² = 3(18 + x)                                                    sehingga : x + y = 6 + 12 = 18

                2x² – 3x – 54 =0

                (2x + 9)(x – 6) = 0

                x = 6 → y = 12  

9.     Diketahui  p, q dan r merupakan akar – akar persamaan suku banyak berderajat tiga. Jika p, q dan r membentuk barisan aritmetika, dengan suku ketiga tiga kali suku pertama dan jumlah dari ketiga akar  adalah  12 maka tentukan persamaan dari suku banyak tersebut !

                r – q = q – p                        r = 3p                                     p + q + r = 12

                2q = p + r                                                                          p + 2p + 3p = 12

                2q = p + 3p                                                                                      6p = 12

                2q = 4p                                                                                 p = 2→ q = 4 → r = 6

                q = 2p

                                                sehingga persamaan suku banyaknya : (x – 2)(x – 4)(x – 6) = 0

 10.   Pada suatu barisan geometri dengan r > 1, diketahui dua kali jumlah empat suku pertama adalah tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika diantara suku – suku tersebut disisipkan empat bilangan, dengan cara : antara suku kedua dan ketiga disisipkan satu bilangan dan antara suku ketiga dan keempat disisipkan tiga buah bilangan maka akan terbentuk barisan aritmetika dengan beda r. Hitung jumlah dari bilangan yang disisipkan !

                2S₄ = 3(U₂ +U₄)                                                                 

                2 a(r⁴ - 1)/(r - 1) = 3(ar + ar³)

                2a(r⁴ – 1) = 3ar(1 + r²)(r – 1)

                2(r² + 1)(r – 1)(r + 1) = 3r(r² +1)(r – 1)         x    = a + 2b = 2 + 4 = 6

                2r + 2 = 3r                                                     y    = a + 4b = 2 + 8 = 10

                r = 2                                                               z = a + 5b = 2 + 10 = 12     

           U₁  U₂  x U₃ y z w U₄                                         w =a+ 6b = 2 + 12 =14 +

                a    2a      4a          8a                                             x + y + z + w = 42

                b =2a – a

                     2 = a